№ 2. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 6,5 см. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен 5 см.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник
• Радиус описанной окружности (R): 6,5 см
• Один катет (a): 5 см
• Найти: Площадь (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем длину гипотенузы (c). Так как прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза равна диаметру окружности.
   \( c = 2 \cdot R = 2 \cdot 6,5 = 13 \) см.
2. Шаг 2: Находим второй катет (b) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
   \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
   \( 25 + b^2 = 169 \)
   \( b^2 = 169 - 25 \)
   \( b^2 = 144 \)
   \( b = \sqrt{144} = 12 \) см.
3. Шаг 3: Вычисляем площадь прямоугольного треугольника по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \)
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \) см².

Ответ: 30 см²