2. Пусть AB = 5, BC = 12, угол В = 90°. Найдите величины |AB – BC| и |AB| - |BC|.

Привет! Давай найдем длины этих векторов. Здесь у нас прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой (90°).

Дано:

• $$AB = 5$$
• $$BC = 12$$
• $$\angle B = 90^\circ$$

Найти:

• $$|\vec{AB} - \vec{BC}|$$
• $$|\vec{AB}| - |\vec{BC}|$$

Решение:

1. Найдем $$|\vec{AB} - \vec{BC}|$$

Сначала разберемся с выражением под модулем: $$\vec{AB} - \vec{BC}$$.

Вычитание векторов $$\vec{AB} - \vec{BC}$$ эквивалентно сложению $$\vec{AB} + (-\vec{BC})$$.

Вектор $$-\vec{BC}$$ — это вектор, имеющий такое же направление, как $$\vec{CB}$$. То есть, $$-\vec{BC} = \vec{CB}$$.

Тогда выражение становится: $$\vec{AB} + \vec{CB}$$.

Вспомним правило сложения векторов. Если точки A, B, C образуют треугольник, то $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$.

Но у нас $$\vec{AB} + \vec{CB}$$. По правилу сложения векторов, если векторы выходят из одной точки (в данном случае, точка B), то их сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. В нашем случае, поскольку $$\angle B = 90^\circ$$, параллелограмм будет квадратом или прямоугольником. Так как $$AB
e BC$$, то это прямоугольник ABCD. Тогда $$\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{DB}$$ (где D — четвертая вершина прямоугольника).

Мы ищем длину этого вектора, то есть $$|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}|$$.

В прямоугольнике ABCD, диагональ DB равна длине вектора $$\vec{DB}$$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$

$$AC = \sqrt{169} = 13$$

В прямоугольнике диагонали равны, значит, $$DB = AC = 13$$.

Следовательно, $$|\vec{AB} - \vec{BC}| = 13$$.

2. Найдем $$|\vec{AB}| - |\vec{BC}|$$

Здесь все проще. Модуль вектора — это его длина. Нам даны длины векторов AB и BC:

$$|\vec{AB}| = 5$$

$$|\vec{BC}| = 12$$

Теперь просто вычтем одно из другого:

$$|\vec{AB}| - |\vec{BC}| = 5 - 12 = -7$$

Ответ:

• $$|\vec{AB} - \vec{BC}| = 13$$
• $$|\vec{AB}| - |\vec{BC}| = -7$$