2. Пусть x₁, x₂ — корни уравнения 2x² − 7x − 3 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого будут числа: (a) x₁²x₂ и x₁x₂²; (b) x₁/x₂ − 1 и x₂/x₁ − 1.

По теореме Виета для исходного уравнения:

\(x_1+x_2=\frac72,\quad x_1x_2=-\frac32.\)

1. Пусть корни нового уравнения — \(x_1^2x_2\) и \(x_1x_2^2\). Их сумма:

   \(x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=-\frac32\cdot\frac72=-\frac{21}{4}.\)

   Их произведение:

   \(x_1^2x_2\cdot x_1x_2^2=(x_1x_2)^3=\left(-\frac32\right)^3=-\frac{27}{8}.\)

   Поэтому уравнение с такими корнями имеет вид \(t^2+\frac{21}{4}t-\frac{27}{8}=0\). Умножим на 8:

   \(8t^2+42t-27=0.\)

2. Обозначим \(u=\frac{x_1}{x_2}\), \(v=\frac{x_2}{x_1}\). Тогда \(uv=1\), а

   \(\displaystyle u+v=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{49}{4}+3}{-\frac32}=-\frac{61}{6}.\)

   Сумма искомых корней:

   \((u-1)+(v-1)=u+v-2=-\frac{73}{6}.\)

   Их произведение:

   \((u-1)(v-1)=uv-u-v+1=1-\left(-\frac{61}{6}\right)+1=\frac{73}{6}.\)

   Уравнение с этими корнями: \(t^2+\frac{73}{6}t+\frac{73}{6}=0\). Умножим на 6:

   \(6t^2+73t+73=0.\)

Ответ: (а) \(8t^2+42t-27=0\); (б) \(6t^2+73t+73=0\).