Ответ:
Шаг 1. Сопоставим слова Гринёва с определениями. В родительском доме он ещё не достиг совершеннолетия и не поступил на государственную службу.
Шаг 2. Значит, здесь слово «недоросль» употреблено в первом, историческом значении. Герой с лёгкой самоиронией описывает беззаботную жизнь до начала службы; второе значение словарной статьи к этой самоаттестации не подходит.
Ответ: первое значение — молодой дворянин, не достигший совершеннолетия и ещё не поступивший на государственную службу.
