2. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. а) Докажите, что сечение конуса плоскостью ABP — равнобедренный остроугольный треугольник. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

а) Так как PA и PB — образующие конуса, то \(PA=PB=9\). Следовательно, треугольник ABP равнобедренный.

Дуги относятся как 1 : 5, поэтому меньшая дуга составляет \(\frac{1}{6}\) окружности. Её центральный угол равен \(360°:6=60°\). Хорда AB, стягивающая эту дугу, равна радиусу окружности: \(AB=2\cdot6\cdot\sin 30°=6\).

В равнобедренном треугольнике высота из P делит основание AB пополам. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 9 и катетом 3 второй катет равен \(\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2}\). Тогда \(\tan\angle PAB=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}>1\), значит, \(\angle PAB>45°\). Угол при P равен \(180°-2\angle PAB<90°\); углы при основании также острые. Поэтому треугольник остроугольный.

б) Площадь сечения равна половине произведения основания AB на высоту:

\(S_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\sqrt{2}=18\sqrt{2}\).

Ответ: а) треугольник ABP равнобедренный и остроугольный; б) \(18\sqrt{2}\).