Решение:
- По прежнему пути — наречие пишется раздельно, так как есть существительное «пути».
- жить по-новому — наречие пишется через дефис.
- (по) осеннему небу — здесь «по осеннему» является предлогом с прилагательным, а не наречием.
- прыгать по-ребячьи — наречие пишется через дефис.
- разговаривать по-дружески — наречие пишется через дефис.
- (по) зимнему пути — здесь «по зимнему» является предлогом с прилагательным, а не наречием.
- думать по-прежнему — наречие пишется через дефис.
- (по) настоящему договору — здесь «по настоящему» является предлогом с прилагательным, а не наречием.
- (по) новому ковру — здесь «по новому» является предлогом с прилагательным, а не наречием.
- по-осеннему прохладно — наречие пишется через дефис.
Подчеркнутые наречия: по-новому, по-ребячьи, по-дружески, по-прежнему, по-осеннему.