2. Рассматривается куб АBCDA1B1C1D1 . М- середина ребра DD1 а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М. б) Определите взаимное положение прямых В1М и AD. Постройте точку К пересечения В1М и (ADC) в) Найдите площадь поверхности призмы ABD A1B1D1, если ребро куба 1. г) Найдите тангенс угла наклона прямой В1М к плоскости DD1CC1.

Решение:

Данная задача посвящена изучению свойств куба и взаимного расположения его элементов. В ней нужно будет выполнить построение, определить взаимное расположение объектов, найти площадь поверхности и вычислить тангенс угла наклона.

Ответ:

а) Чертеж куба с отмеченной точкой М (середина DD1).

б) Прямые B1M и AD являются скрещивающимися. Точка пересечения K прямой B1M с плоскостью (ADC) находится следующим образом: продлим прямую B1M до пересечения с плоскостью основания A1B1C1D1 в точке B1, а затем найдем точку пересечения с плоскостью (ADC). Это точка, где прямая, проходящая через B1 параллельно AD, пересекает прямую AD. Так как AD параллельна B1C1, то прямая, проходящая через B1 параллельно AD, будет совпадать с прямой B1C1. Точка пересечения B1M и (ADC) будет точкой пересечения прямой B1M с плоскостью, содержащей AD и DC. Эта точка будет находиться на продолжении отрезка B1M, в точке, где он пересечет прямую AC.

в) Площадь поверхности призмы ABD A1B1D1: Основанием призмы является прямоугольный треугольник ABD. Площадь основания = (1/2) * AB * AD = (1/2) * 1 * 1 = 0.5. Высота призмы равна AA1 = 1. Боковые грани призмы – прямоугольники ABB1A1, ADD1A1, BDD1B1. Площадь боковой поверхности = (периметр основания) * высота = (AB + BD + AD) * AA1. AB = 1, AD = 1, BD = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2). Периметр = 1 + 1 + sqrt(2) = 2 + sqrt(2). Площадь боковой поверхности = (2 + sqrt(2)) * 1 = 2 + sqrt(2). Площадь полной поверхности призмы = 2 * (площадь основания) + (площадь боковой поверхности) = 2 * 0.5 + (2 + sqrt(2)) = 1 + 2 + sqrt(2) = 3 + sqrt(2).

г) Тангенс угла наклона прямой B1M к плоскости DD1CC1: Плоскость DD1CC1 является боковой гранью куба. Угол наклона прямой к плоскости - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекция точки B1 на плоскость DD1CC1 - это сама точка B1. Проекция точки M (середины DD1) на плоскость DD1CC1 - это точка M. Таким образом, проекция прямой B1M на плоскость DD1CC1 - это прямая B1M. Угол между прямой и плоскостью, когда прямая лежит в плоскости, равен 0 градусов. Тангенс угла равен 0.