Ответ:

Собачка легла на спину, подняла лапки и стала махать хвостиком.

Грамматическая основа: собачка легла, подняла, стала махать. Подлежащее — «собачка»; однородные сказуемые — «легла», «подняла», «стала махать». Запятая ставится между однородными сказуемыми, не соединёнными союзом, а перед одиночным союзом «и» запятая не нужна.