2. Расстояние между пристанями A и B, находящимися на реке, равно 5 км. От пристани A одновременно отплыли плот и моторная лодка. Через 1 ч после отплытия лодка достигла пристани B, сразу развернулась и вернулась к пристани A в момент, когда плот доплыл до пристани B. Модуль скорости лодки относительно воды постоянный. а) Через какое время после разворота лодка встретила плот? б) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения? в) Чему равна скорость течения реки?

Обозначим через \(v\) скорость лодки относительно воды, а через \(u\) — скорость течения реки.

При движении от A к B лодка плывёт по течению, поэтому её скорость относительно берега равна \(v+u\). Так как она проходит 5 км за 1 ч, получаем:

\[v+u=5.\]

Плот движется со скоростью течения, поэтому время его движения от A до B:

\[t_{\text{плота}}=\frac{5}{u}.\]

Лодка возвращается против течения со скоростью \(v-u\), поэтому время обратного движения:

\[t_{\text{обратно}}=\frac{5}{v-u}.\]

По условию лодка возвращается к A в тот момент, когда плот достигает B:

\[1+\frac{5}{v-u}=\frac{5}{u}.\]

Отсюда:

\[\frac{5}{v-u}=\frac{5-u}{u}=\frac{v}{u},\]

так как \(v+u=5\). Следовательно,

\[5u=v(v-u).\]

Подставим \(5=v+u\):

\[u(v+u)=v(v-u),\]

\[v^2-2uv-u^2=0.\]

Делим на \(u^2\) и выбираем положительный корень:

\[\left(\frac vu\right)^2-2\frac vu-1=0,\qquad \frac vu=1+\sqrt2.\]

а) После разворота лодка и плот движутся навстречу друг другу. Их скорости относительно берега равны \(v-u\) и \(u\), поэтому скорость сближения равна \(v\). Расстояние между ними в момент разворота равно 5 км:

\[t=\frac{5}{v}.\]

Так как \(v+u=5\), а \(v=(1+\sqrt2)u\), то

\[t=\frac{v+u}{v}=1+\frac{u}{v}=1+\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2\text{ ч}.\]

б)

\[\frac vu=1+\sqrt2.\]

в)

\[u=\frac{5}{2+\sqrt2}=\frac{5(2-\sqrt2)}2\text{ км/ч}\approx1.46\text{ км/ч}.\]

Ответ: а) \(\sqrt2\) ч (примерно 1 ч 25 мин); б) в \(1+\sqrt2\) раза; в) \(\frac{5(2-\sqrt2)}2\) км/ч, примерно 1,46 км/ч.