2) Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника в 8 раз меньше, чем эта сторона. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 80 см.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника — его центр. Расстояние от центра до стороны равно половине длины перпендикулярной ей стороны.

Пусть длина стороны, до которой измеряют расстояние, равна \(a\), а перпендикулярная ей сторона — \(b\). По условию расстояние равно \(a/8\), а по свойству прямоугольника оно также равно \(b/2\). Значит, \(b/2=a/8\), откуда \(a=4b\).

Из периметра: \(2(a+b)=80\), поэтому \(a+b=40\). Подставим \(a=4b\): \(5b=40\), \(b=8\) см, \(a=32\) см.

Площадь: \(S=32\cdot8=256\) см².

Ответ: 256 см².