2. Разложите на множители выражение: a) 9x² - 25y²; б) а²b⁶ - 16x⁴; в) 4х² - (x + 1)²; г) (x² + 2)² - (3x - 1)².

Задание 2. Разложение на множители

Привет! Давай разложим эти выражения на множители. Будем использовать формулы сокращенного умножения, в основном разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

а) 9x² - 25y²

Это разность квадратов, где a = 3x, а b = 5y.

Применяем формулу:

\[ (3x)² - (5y)² = (3x - 5y)(3x + 5y) \]

Ответ: (3x - 5y)(3x + 5y)

б) а²b⁶ - 16x⁴

Здесь тоже разность квадратов. Первый член a²b⁶ = (ab³)², а второй 16x⁴ = (4x²)².

Применяем формулу:

\[ (ab³)² - (4x²)² = (ab³ - 4x²)(ab³ + 4x²) \]

Ответ: (ab³ - 4x²)(ab³ + 4x²)

в) 4х² - (x + 1)²

Это снова разность квадратов. Первый член 4х² = (2x)², а второй член — это уже готовый квадрат (x + 1)².

Применяем формулу, где a = 2x и b = (x + 1):

\[ (2x)² - (x + 1)² = (2x - (x + 1))(2x + (x + 1)) \]

Раскроем скобки:

\[ (2x - x - 1)(2x + x + 1) = (x - 1)(3x + 1) \]

Ответ: (x - 1)(3x + 1)

г) (x² + 2)² - (3x - 1)²

И снова разность квадратов! Первый член — (x² + 2)², второй — (3x - 1)².

Применяем формулу, где a = (x² + 2) и b = (3x - 1):

\[ (x² + 2)² - (3x - 1)² = ((x² + 2) - (3x - 1))((x² + 2) + (3x - 1)) \]

Раскроем скобки:

\[ (x² + 2 - 3x + 1)(x² + 2 + 3x - 1) = (x² - 3x + 3)(x² + 3x + 1) \]

Ответ: (x² - 3x + 3)(x² + 3x + 1)