№ 2. Разложите на простые множители числа 120 и 180 и найдите их общий делитель. 2. Являются ли взаимно простыми числа: а) 55 и 78; г) 701 и 853?

1. Последовательно делим числа на простые делители:

120 = 2 · 60 = 2 · 2 · 30 = 2 · 2 · 2 · 15 = 2³ · 3 · 5.

180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2² · 3² · 5.

Общие простые множители с наименьшими степенями дают НОД: НОД(120, 180) = 2² · 3 · 5 = 60.

2. а) 55 = 5 · 11, а 78 = 2 · 3 · 13. Общих простых множителей нет, поэтому числа взаимно простые.

г) 701 и 853 не имеют общих простых делителей: алгоритм Евклида даёт 853 − 701 = 152; 701 = 4 · 152 + 93; 152 = 93 + 59; 93 = 59 + 34; 59 = 34 + 25; 34 = 25 + 9; 25 = 2 · 9 + 7; 9 = 7 + 2; 7 = 3 · 2 + 1. Следовательно, НОД(701, 853) = 1.

Ответ: 55 и 78 взаимно простые; 701 и 853 взаимно простые.