2. Реши уравнения: а) 5x² − 4x − 12 ≤ 0; б) −2x² + 7x − 6 < 0; в) 2x² − 50x ≥ 0; г) 4x² − 49 < 0; д) 16x² − 8x + 1 > 0.

Question

Вопрос:

2. Реши уравнения: а) 5x² − 4x − 12 ≤ 0; б) −2x² + 7x − 6 < 0; в) 2x² − 50x ≥ 0; г) 4x² − 49 < 0; д) 16x² − 8x + 1 > 0.

Accepted Answer

Решим неравенства методом интервалов.

\(5x^2-4x-12=0\).
Корни: \(x_1=-\frac{6}{5}\), \(x_2=2\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому:
\(x\in\left[-\frac{6}{5};2\right]\).
\(-2x^2+7x-6=0\), откуда \(x_1=\frac{3}{2}\), \(x_2=2\).
Ветви параболы направлены вниз. Неравенство выполняется вне промежутка между корнями:
\(x\in\left(-\infty;\frac{3}{2}\right)\cup(2;+\infty)\).
\(2x^2-50x=2x(x-25)\).
Произведение неотрицательно:
\(x\in(-\infty;0]\cup[25;+\infty)\).
\(4x^2-49<0\).
Корни: \(x=-\frac{7}{2}\) и \(x=\frac{7}{2}\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями:
\(x\in\left(-\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)\).
\(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\).
Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=\frac14\):
\(x\in\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)\).

Ответ: а) \(\left[-\frac{6}{5};2\right]\); б) \(\left(-\infty;\frac{3}{2}\right)\cup(2;+\infty)\); в) \((-\infty;0]\cup[25;+\infty)\); г) \(\left(-\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)\); д) \(\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)\).