2. Реши задачу. Даны точки A, B, C и D, которые не лежат в одной плоскости. Точка E лежит на отрезке CD. 1) Докажи, что через точки A, B и C проходит единственная плоскость. 2) Докажи, что точка E не может лежать в той же плоскости, что и точки A, B и C.

1)

Дано: точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Доказать: через A, B и C проходит единственная плоскость.

1. Точки A, B и C не могут лежать на одной прямой: иначе прямая ABC вместе с точкой D лежала бы в некоторой плоскости, а значит, A, B, C и D были бы компланарны. Это противоречит условию.
2. По аксиоме стереометрии через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Вывод: через A, B и C проходит единственная плоскость.

2)

Дано: точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости; E лежит на отрезке CD.

Доказать: E не лежит в плоскости ABC.

1. Пусть E лежит в плоскости ABC. Точка C также лежит в этой плоскости, поэтому по аксиоме о прямой CE вся прямая CE лежит в плоскости ABC.
2. Так как E лежит на отрезке CD, точки C, E и D лежат на одной прямой. Следовательно, D лежит в плоскости ABC.
3. Тогда A, B, C и D лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Вывод: точка E не может лежать в плоскости ABC.