2. Решить дробные рациональные уравнения по вариантам. Вариант 1: а) (5y³−15y²−2y+6)/(y²−9)=0; б) (3x−2)/(x−1)−(2x+3)/(x+3)=(12x+4)/(x²+2x−3). Вариант 2: а) (6x³+48x²−2x−16)/(x²−64)=0; б) (5x−1)/(x+7)−(2x+2)/(x−3)+63/(x²+4x−21)=0.

Вариант 1

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль: \(y\ne3\), \(y\ne-3\). Разложим числитель и знаменатель на множители:

   \(\frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=\frac{(y-3)(5y^2-2)}{(y-3)(y+3)}\).

   Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Корень \(y=3\) исключается из ОДЗ. Из \(5y^2-2=0\) получаем \(y=\pm\sqrt{\frac25}\); эти значения допустимы.

   Ответ: \(y=-\sqrt{\frac25};\ \sqrt{\frac25}\).

2. ОДЗ: \(x\ne1\), \(x\ne-3\), так как \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\).

   Умножим уравнение на \((x-1)(x+3)\):

   \((3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4\).

   Раскрываем скобки и переносим всё в левую часть:

   \(3x^2+7x-6-(2x^2+x-3)-12x-4=0\), откуда \(x^2-6x-7=0\).

   \((x-7)(x+1)=0\), поэтому \(x=7\) или \(x=-1\). Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

   Ответ: \(x=-1; 7\).

Вариант 2

1. ОДЗ: \(x\ne8\), \(x\ne-8\). Разложим выражения на множители:

   \(\frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=\frac{2(x+8)(3x^2-1)}{(x-8)(x+8)}\).

   Числитель равен нулю при \(x=-8\) или \(3x^2-1=0\). Значение \(-8\) исключено из ОДЗ; из второго уравнения получаем \(x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\), и оба корня допустимы.

   Ответ: \(x=-\frac{1}{\sqrt3};\ \frac{1}{\sqrt3}\).

2. ОДЗ: \(x\ne-7\), \(x\ne3\), так как \(x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\).

   Умножим уравнение на \((x+7)(x-3)\):

   \((5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0\).

   Раскрываем скобки: \(5x^2-16x+3-(2x^2+16x+14)+63=0\), поэтому \(3x^2-32x+52=0\).

   \(D=(-32)^2-4\cdot3\cdot52=400\). Тогда \(x=\frac{32\pm20}{6}\), то есть \(x=2\) или \(x=\frac{26}{3}\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

   Ответ: \(x=2;\ \frac{26}{3}\).