№2. Решить неравенства: а) 2x + 4(5 − 3x) ≥ (x + 1); б) 2x² + 3x − 9 < 0; в) (x + 1)/(x² − 5x + 6) < 0.

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(2x+20-12x\ge x+1\),

\(-10x+20\ge x+1\),

\(19\ge11x\). Делим на положительное число \(11\), знак неравенства сохраняется: \(x\le\frac{19}{11}\).

б) Найдём корни соответствующего квадратного трёхчлена:

\(2x^2+3x-9=(2x-3)(x+3)\), поэтому корни \(x=\frac32\) и \(x=-3\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, выражение отрицательно между корнями.

Ответ: \(-3<x<\frac32\).

в) Разложим знаменатель на множители и отметим точки, в которых числитель или знаменатель обращается в ноль:

\(\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}\), критические точки: \(-1, 2, 3\). Значения \(2\) и \(3\) исключаются из области определения.

Знаки дроби на промежутках: отрицательный при \(x<-1\), положительный при \(-1<x<2\), отрицательный при \(2<x<3\), положительный при \(x>3\). Так как неравенство строгое, точку \(-1\), где дробь равна нулю, не включаем.

Ответ: а) \(x\le\frac{19}{11}\); б) \(-3<x<\frac32\); в) \((-\infty,-1)\cup(2,3)\).