2. Решить примеры: найти sin 75°; вычислить sin 85° · cos 40° − cos 45° · sin 40°; вычислить: 1) cos 75°, 2) cos 15°.

Используем формулы суммы и разности углов.

1) \(\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)\).

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\), поэтому

\(\sin 75^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

2) Применим формулы произведения в сумму:

\(\sin85^\circ\cos40^\circ=\dfrac{\sin125^\circ+\sin45^\circ}{2}\),

\(\cos45^\circ\sin40^\circ=\dfrac{\sin85^\circ-\sin5^\circ}{2}\).

Следовательно,

\(\sin85^\circ\cos40^\circ-\cos45^\circ\sin40^\circ=\dfrac{\sin125^\circ+\sin45^\circ-\sin85^\circ+\sin5^\circ}{2}\approx0.3086\).

3) \(\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)\).

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\), значит

\(\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).

4) \(\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)\).

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\), значит

\(\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).

Ответ: \(\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\); выражение приблизительно равно 0.3086; \(\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\); \(\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).