2. Решить примеры. Пример 2.1. Найти значение выражения \(\sqrt{18\cdot50}\). Пример 2.2. Упростить выражение \(\sqrt{36x^{10}y^6}\) при \(x>0,\ y<0\). Пример 2.3. Извлечь корень \(\sqrt{\frac{16x^2}{y^6}}\) при \(x<0,\ y>0\). Пример 2.4. Внести множитель под знак корня: \(5\sqrt2\). Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня: \(\sqrt{2x^2}\) при \(x\le0\).

Пример 2.1. Используем свойство корня из произведения:

\(\sqrt{18\cdot50}=\sqrt{900}=30\).

Пример 2.2. Выделяем квадраты и учитываем знаки переменных:

\(\sqrt{36x^{10}y^6}=6|x^5||y^3|\).

Так как \(x>0\), то \(|x^5|=x^5\); так как \(y<0\), то \(|y^3|=-y^3\). Поэтому \(6|x^5||y^3|=-6x^5y^3\).

Пример 2.3. Используем свойства квадратного корня и модуль:

\(\sqrt{\frac{16x^2}{y^6}}=\frac{4|x|}{|y^3|}\).

При \(x<0\) имеем \(|x|=-x\), а при \(y>0\) имеем \(|y^3|=y^3\). Следовательно, \(\sqrt{\frac{16x^2}{y^6}}=-\frac{4x}{y^3}\).

Пример 2.4. При внесении множителя под знак квадратного корня возводим его в квадрат:

\(5\sqrt2=\sqrt{5^2\cdot2}=\sqrt{50}\).

Пример 2.5. Выносим полный квадрат, учитывая модуль:

\(\sqrt{2x^2}=|x|\sqrt2\).

Так как \(x\le0\), то \(|x|=-x\). Значит, \(\sqrt{2x^2}=-x\sqrt2\).

Ответ: 2.1) 30; 2.2) \(-6x^5y^3\); 2.3) \(-\frac{4x}{y^3}\); 2.4) \(\sqrt{50}\); 2.5) \(-x\sqrt2\).