2. Решить систему (или комбинированное уравнение): \(2^x\cdot5^{1-x}=0.1\) (с использованием логарифмирования).

Решение.

1. Преобразуем левую часть: \(2^x\cdot5^{1-x}=5\left(\frac{2}{5}\right)^x\). Так как \(0.1=\frac{1}{10}\), уравнение принимает вид \(5\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{1}{10}\).
2. Делим обе части на 5: \(\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{1}{50}\).
3. Логарифмируем обе части: \(x\ln\left(\frac{2}{5}\right)=\ln\left(\frac{1}{50}\right)\). Следовательно, \(x=\frac{\ln(1/50)}{\ln(2/5)}=\frac{\ln 50}{\ln(5/2)}\approx4.272\).

Ответ: \(x=\frac{\ln 50}{\ln(5/2)}\approx4.272\).