2. Решить систему уравнений \(\begin{cases} x+y=-2 \\ 6^{x+5y}=36 \end{cases}\)

Решение:

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} x+y=-2 \\ 6^{x+5y}=36 \end{cases}\)

1. Преобразуем второе уравнение системы. Так как \( 36 = 6^2 \), то \( 6^{x+5y} = 6^2 \). Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует, что показатели степеней равны: \( x + 5y = 2 \).
2. Теперь система имеет вид: \(\begin{cases} x+y=-2 \\ x+5y=2 \end{cases}\)
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( (x+5y) - (x+y) = 2 - (-2) \)
   \( x + 5y - x - y = 2 + 2 \)
   \( 4y = 4 \)
   \( y = 1 \)
4. Подставим найденное значение \( y=1 \) в первое уравнение системы \( x+y=-2 \):
   \( x + 1 = -2 \)
   \( x = -2 - 1 \)
   \( x = -3 \)

Проверка:

Подставим \( x = -3 \) и \( y = 1 \) во второе уравнение исходной системы:

\( 6^{x+5y} = 6^{-3 + 5(1)} = 6^{-3+5} = 6^2 = 36 \). Верно.

Ответ: \( x=-3, y=1 \).