2. Решить системы уравнений методом сложения

2. Системы уравнений методом сложения

1. \( \begin{cases} 7x - y = 15 \\ 3x + y = 5 \end{cases} \)
1. Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \): \( (7x - y) + (3x + y) = 15 + 5 \) \( \Rightarrow 10x = 20 \) \( \Rightarrow x = 2 \).
2. Подставим \( x = 2 \) в любое из уравнений, например, во второе: \( 3(2) + y = 5 \) \( \Rightarrow 6 + y = 5 \) \( \Rightarrow y = -1 \).

Ответ: \( x = 2, y = -1 \).

2. \( \begin{cases} 2x + 3y = 10 \\ x - 2y = -9 \end{cases} \)
1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными: \( 2(x - 2y) = 2(-9) \) \( \Rightarrow 2x - 4y = -18 \).
2. Теперь система выглядит так: \( \begin{cases} 2x + 3y = 10 \\ 2x - 4y = -18 \end{cases} \)
3. Вычтем второе уравнение из первого: \( (2x + 3y) - (2x - 4y) = 10 - (-18) \) \( \Rightarrow 7y = 28 \) \( \Rightarrow y = 4 \).
4. Подставим \( y = 4 \) во второе уравнение исходной системы: \( x - 2(4) = -9 \) \( \Rightarrow x - 8 = -9 \) \( \Rightarrow x = -1 \).

Ответ: \( x = -1, y = 4 \).

3. \( \begin{cases} 5x + y = 14 \\ 3x - 2y = -2 \end{cases} \)
1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными: \( 2(5x + y) = 2(14) \) \( \Rightarrow 10x + 2y = 28 \).
2. Теперь система выглядит так: \( \begin{cases} 10x + 2y = 28 \\ 3x - 2y = -2 \end{cases} \)
3. Сложим оба уравнения: \( (10x + 2y) + (3x - 2y) = 28 + (-2) \) \( \Rightarrow 13x = 26 \) \( \Rightarrow x = 2 \).
4. Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение исходной системы: \( 5(2) + y = 14 \) \( \Rightarrow 10 + y = 14 \) \( \Rightarrow y = 4 \).

Ответ: \( x = 2, y = 4 \).

4. \( \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} \)
1. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
2. \( 5(3x - 2y) = 5(5) \) \( \Rightarrow 15x - 10y = 25 \)
3. \( 2(2x + 5y) = 2(16) \) \( \Rightarrow 4x + 10y = 32 \)
4. Сложим полученные уравнения: \( (15x - 10y) + (4x + 10y) = 25 + 32 \) \( \Rightarrow 19x = 57 \) \( \Rightarrow x = 3 \).
5. Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение исходной системы: \( 3(3) - 2y = 5 \) \( \Rightarrow 9 - 2y = 5 \) \( \Rightarrow -2y = -4 \) \( \Rightarrow y = 2 \).

Ответ: \( x = 3, y = 2 \).