2. Решить уравнение: 1) sin 3x cos x - sin x cos 3x = 1; 2) 2 cos² x + 5 cos x = 3; 3) tg x - 3 ctg x = 0; 4) sin 3x - sin x = 0; 5) 2 sin x + sin 2x = 0.

Решение:

1. Используем формулу синуса разности: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
2. \( \sin(3x - x) = \sin(2x) = 1 \).
3. \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
4. \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
5. Перепишем уравнение: \( 2\cos^2 x + 5\cos x - 3 = 0 \).
6. Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 2y^2 + 5y - 3 = 0 \).
7. Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).
8. \( y_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
9. \( y_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \).
10. \( \cos x = \frac{1}{2} \) (так как \( \cos x \) не может быть меньше -1 и больше 1, \( \cos x = -3 \) — посторонний корень).
11. \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
12. Умножим обе части уравнения на \( \sin x \) (при условии \( \sin x \neq 0 \), т.е. \( x \neq \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)).
13. \( \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \sin x - 3 \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = 0 \).
14. \( \sin^2 x - 3\cos x = 0 \).
15. \( 1 - \cos^2 x - 3\cos x = 0 \).
16. \( \cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0 \).
17. Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( y^2 + 3y - 1 = 0 \).
18. \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \).
19. \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \), \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \).
20. \( \cos x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \) (так как \( \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < -1 \)).
21. \( x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\right) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
22. \( \sin(3x) = \sin x \).
23. \( 3\sin x - 4\sin^3 x = \sin x \).
24. \( 2\sin x - 4\sin^3 x = 0 \).
25. \( 2\sin x (1 - 2\sin^2 x) = 0 \).
26. \( 2\sin x (\cos(2x)) = 0 \).
27. \( \sin x = 0 \) или \( \cos(2x) = 0 \).
28. \( x = \pi k \) или \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
29. \( x = \pi k \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).
30. \( 2\sin x + 2\sin x \cos x = 0 \).
31. \( 2\sin x(1 + \cos x) = 0 \).
32. \( \sin x = 0 \) или \( \cos x = -1 \).
33. \( x = \pi k \) или \( x = \pi + 2\pi n \).
34. Следовательно, \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: 1) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); 2) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); 3) \( x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\right) + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); 4) \( x = \pi k \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), \( k, n \in \mathbb{Z} \); 5) \( x = \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).