2. Решить уравнение \( x + \sqrt{2x^2 + 2x - 3} = -1 \).

Решение:

1. Перенесём \( x \) в правую часть: \( \sqrt{2x^2 + 2x - 3} = -1 - x \).
2. Возведём обе части в квадрат: \( 2x^2 + 2x - 3 = (-1 - x)^2 \) \( 2x^2 + 2x - 3 = 1 + 2x + x^2 \).
3. Упростим уравнение: \( 2x^2 - x^2 + 2x - 2x - 3 - 1 = 0 \) \( x^2 - 4 = 0 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение: \( x^2 = 4 \), откуда \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
5. Проверим полученные корни в исходном уравнении:
• Для \( x = 2 \): \( 2 + \sqrt{2(2)^2 + 2(2) - 3} = 2 + \sqrt{2(4) + 4 - 3} = 2 + \sqrt{8 + 4 - 3} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \). \( 5 \neq -1 \), значит, \( x = 2 \) — посторонний корень.
• Для \( x = -2 \): \( -2 + \sqrt{2(-2)^2 + 2(-2) - 3} = -2 + \sqrt{2(4) - 4 - 3} = -2 + \sqrt{8 - 4 - 3} = -2 + \sqrt{1} = -2 + 1 = -1 \). \( -1 = -1 \), значит, \( x = -2 \) — верный корень.

Ответ: \( x = -2 \).