2. Решить уравнения: 1) \(2\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}+1=0\); 2) \(\dfrac{2\cos t+1}{2}+\dfrac{5\cos t}{3}=\dfrac{7}{4}\).

1) Обозначим \(y=\sin\frac{x}{2}\). Получаем квадратное уравнение:

\(2y^2-3y+1=0\),

\((2y-1)(y-1)=0\). Значит, \(y=\frac12\) или \(y=1\); оба значения допустимы для синуса.

Если \(\sin\frac{x}{2}=\frac12\), то \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), откуда \(x=\frac{\pi}{3}+4\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k\).

Если \(\sin\frac{x}{2}=1\), то \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), откуда \(x=\pi+4\pi k\).

2) Умножим обе части уравнения на 12:

\(6(2\cos t+1)+20\cos t=21\).

Следовательно, \(32\cos t=15\), то есть \(\cos t=\frac{15}{32}\). Поэтому

\(t=2\pi k\pm\arccos\frac{15}{32}\).

Здесь \(k\in\mathbb{Z}\).

Ответ: 1) \(x=\frac{\pi}{3}+4\pi k\), \(x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k\) или \(x=\pi+4\pi k\); 2) \(t=2\pi k\pm\arccos\frac{15}{32}\), \(k\in\mathbb{Z}\).