2. Решить уравнения: 1) $\sqrt{x}=4$; 2) $\sqrt{x}+16=0$; 3) $x-\sqrt{x}-6=0$; 4) $\sqrt{x^2+x-2}=2$; 5) $\sqrt{7x+1}=2\sqrt{x+4}$; 6) $\sqrt{x+2}-\frac{2}{\sqrt{x+2}}=1$; 7) $x^2-4x=3\sqrt{x^2-4x+20}-10$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решить уравнения: 1) $\sqrt{x}=4$; 2) $\sqrt{x}+16=0$; 3) $x-\sqrt{x}-6=0$; 4) $\sqrt{x^2+x-2}=2$; 5)…$ Фото задания

Accepted Answer

$\sqrt{x}=4$. Возводим в квадрат: $x=16$.
При $x\ge0$ имеем $\sqrt{x}\ge0$, поэтому $\sqrt{x}+16>0$. Решений нет.
Пусть $t=\sqrt{x}$, где $t\ge0$. Тогда $t^2-t-6=0$, то есть $(t-3)(t+2)=0$. Из условий подходит $t=3$, поэтому $x=9$.
Возводим в квадрат: $x^2+x-2=4$, откуда $x^2+x-6=0=(x+3)(x-2)$. Получаем $x=-3$ или $x=2$; в обоих случаях подкоренное выражение равно 4.
Область допустимых значений: $x\ge-\frac17$. Возводим в квадрат: $7x+1=4(x+4)$, откуда $3x=15$ и $x=5$. Проверка: обе части равны 6.
Пусть $t=\sqrt{x+2}$, тогда $t>0$. Уравнение принимает вид $t-\frac2t=1$. Умножаем на $t$: $t^2-t-2=0$, то есть $(t-2)(t+1)=0$. С учётом $t>0$ получаем $t=2$, поэтому $x+2=4$ и $x=2$.
Обозначим $y=x^2-4x$. Тогда $y=3\sqrt{y+20}-10$. Пусть $u=\sqrt{y+20}$, где $u\ge0$; тогда $y=u^2-20$. Подставляем: $u^2-20=3u-10$, откуда $(u-5)(u+2)=0$. Подходит $u=5$, значит, $y=5$. Решаем $x^2-4x=5$: $(x-5)(x+1)=0$, поэтому $x=5$ или $x=-1$. Для обоих значений исходное уравнение выполняется.

Ответ: 1) 16; 2) решений нет; 3) 9; 4) −3, 2; 5) 5; 6) 2; 7) −1, 5.

2. Решить уравнения: 1) \(\sqrt{x}=4\); 2) \(\sqrt{x}+16=0\); 3) \(x-\sqrt{x}-6=0\); 4) \(\sqrt{x^2+x-2}=2\); 5) \(\sqrt{7x+1}=2\sqrt{x+4}\); 6) \(\sqrt{x+2}-\frac{2}{\sqrt{x+2}}=1\); 7) \(x^2-4x=3\sqrt{x^2-4x+20}-10\).