2. Решить уравнения: а) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}-\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-32=0\); б) \(35^{4x+3}=5^{3x+6}\cdot7^{5x}\).

а) Обозначим \(t=\left(\frac12\right)^x\), причём \(t>0\). Тогда:

\[\left(\frac12\right)^{2x}=t^2,\qquad \left(\frac12\right)^{x-2}=4\left(\frac12\right)^x=4t\]

Получаем квадратное уравнение:

\[t^2-4t-32=0\]

Разложим на множители:

\[(t-8)(t+4)=0\]

Так как \(t>0\), подходит только \(t=8\). Следовательно:

\[\left(\frac12\right)^x=8=\left(\frac12\right)^{-3}\]

\[x=-3\]

б) Разложим основание левой части на простые множители:

\[35^{4x+3}=(5\cdot7)^{4x+3}=5^{4x+3}\cdot7^{4x+3}\]

Приравниваем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

\[4x+3=3x+6\]

\[x=3\]

Для основания \(7\) получаем:

\[4x+3=5x\]

\[x=3\]

Значение совпадает, поэтому решение подходит.

Ответ: а) \(x=-3\); б) \(x=3\).