2. Решить уравнения: а) $\log_5(x^2+2x+3)=\log_5 6$; б) $(\lg x)^2-3\lg x+2=0$; в) $\log_3(x+2)+\log_3x=1$; г) $2^{x^2-7x+10}=1$; д) $3^{2x-1}+3^{2x}=108$; е) $9^x+8\cdot3^x-9=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решить уравнения: а) $\log_5(x^2+2x+3)=\log_5 6$; б) $(\lg x)^2-3\lg x+2=0$; в) $\log_3(x+2)+\log_3x=1$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Логарифмы с одинаковым основанием равны, значит, равны их аргументы: $x^2+2x+3=6$. Тогда $x^2+2x-3=0$, откуда $(x+3)(x-1)=0$. Оба корня допустимы, поскольку аргумент логарифма равен 6.
Ответ: $x=-3$ или $x=1$.
б) Область определения: $x>0$. Обозначим $y=\lg x$. Получаем $y^2-3y+2=0$, то есть $(y-1)(y-2)=0$. Следовательно, $\lg x=1$ или $\lg x=2$, откуда $x=10$ или $x=100$.
в) Область определения: $x>0$. Объединим логарифмы: $\log_3(x(x+2))=1$, поэтому $x(x+2)=3$. Решаем: $x^2+2x-3=0$, $(x+3)(x-1)=0$. С учётом области определения подходит только $x=1$.
г) Поскольку основание 2 не равно 1, степень равна 1 только при показателе 0: $x^2-7x+10=0$. Разложим на множители: $(x-2)(x-5)=0$.
Ответ: $x=2$ или $x=5$.
д) Пусть $t=3^{2x}$, тогда $3^{2x-1}=t/3$. Получаем $t/3+t=108$, откуда $t=81=3^4$. Значит, $3^{2x}=3^4$, поэтому $x=2$.
е) Пусть $t=3^x$, где $t>0$. Так как $9^x=(3^x)^2$, имеем $t^2+8t-9=0$. Корни: $t=1$ и $t=-9$; отрицательный корень не подходит, поскольку $t>0$. Из $3^x=1$ следует $x=0$.

Ответ: а) $-3, 1$; б) $10, 100$; в) $1$; г) $2, 5$; д) $2$; е) $0$.

2. Решить уравнения: а) \(\log_5(x^2+2x+3)=\log_5 6\); б) \((\lg x)^2-3\lg x+2=0\); в) \(\log_3(x+2)+\log_3x=1\); г) \(2^{x^2-7x+10}=1\); д) \(3^{2x-1}+3^{2x}=108\); е) \(9^x+8\cdot3^x-9=0\).