2. Решить уравнения с использованием тригонометрических тождеств и формул: 1. 6cos²x - 7cosx - 5 = 0 2. 3cos²x + 7sin x − 7 = 0 3. 3sin²x + 7sin x cos x + 2cos2x = 0 4. 2 tg x - 4ctg x + 7 = 0 5. sin 2x - 22cos2x + 10 = 0 6. 2sin²x - 3sin 2x - 4cos2x = 4

Решение:

1. \( 6\cos^2x - 7\cos x - 5 = 0 \)

1. Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 6y^2 - 7y - 5 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 \).
3. \( y_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \).
4. \( y_2 = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \).
5. Так как \( y = \cos x \), то \( \cos x = \frac{5}{3} \) не имеет решений, так как \( \frac{5}{3} > 1 \).
6. \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Общий вид решений: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( 3\cos^2x + 7\sin x - 7 = 0 \)

1. Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \): \( 3(1 - \sin^2x) + 7\sin x - 7 = 0 \).
2. Раскроем скобки: \( 3 - 3\sin^2x + 7\sin x - 7 = 0 \).
3. Приведём подобные: \( -3\sin^2x + 7\sin x - 4 = 0 \).
4. Умножим на -1: \( 3\sin^2x - 7\sin x + 4 = 0 \).
5. Пусть \( y = \sin x \). Тогда \( 3y^2 - 7y + 4 = 0 \).
6. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \).
7. \( y_1 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).
8. \( y_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \).
9. \( \sin x = \frac{4}{3} \) не имеет решений, так как \( \frac{4}{3} > 1 \).
10. \( \sin x = 1 \). Общий вид решений: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

3. \( 3\sin^2x + 7\sin x \cos x + 2\cos^2x = 0 \)

1. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2x \) (предполагая, что \( \cos x \ne 0 \)).
2. \( 3\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 7\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} + 2\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0 \).
3. \( 3\operatorname{tg}^2x + 7\operatorname{tg} x + 2 = 0 \).
4. Пусть \( y = \operatorname{tg} x \). Тогда \( 3y^2 + 7y + 2 = 0 \).
5. Найдём дискриминант: \( D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \).
6. \( y_1 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).
7. \( y_2 = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
8. \( \operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \). Общий вид решений: \( x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k \).
9. \( \operatorname{tg} x = -2 \). Общий вид решений: \( x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi k \).
10. Проверим, не является ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Тогда \( 3(\pm 1)^2 + 7(\pm 1) \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 3 \ne 0 \). Значит, \( \cos x = 0 \) не является решением.

4. \( 2\operatorname{tg} x - 4\operatorname{ctg} x + 7 = 0 \)

1. Заменим \( \operatorname{ctg} x \) на \( \frac{1}{\operatorname{tg} x} \): \( 2\operatorname{tg} x - \frac{4}{\operatorname{tg} x} + 7 = 0 \).
2. Умножим на \( \operatorname{tg} x \) (предполагая \( \operatorname{tg} x \ne 0 \)): \( 2\operatorname{tg}^2x - 4 + 7\operatorname{tg} x = 0 \).
3. Приведём подобные: \( 2\operatorname{tg}^2x + 7\operatorname{tg} x - 4 = 0 \).
4. Пусть \( y = \operatorname{tg} x \). Тогда \( 2y^2 + 7y - 4 = 0 \).
5. Найдём дискриминант: \( D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \).
6. \( y_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
7. \( y_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \).
8. \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{2} \). Общий вид решений: \( x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k \).
9. \( \operatorname{tg} x = -4 \). Общий вид решений: \( x = \operatorname{arctg}(-4) + \pi k \).
10. Если \( \operatorname{tg} x = 0 \), то \( x = \pi k \). Тогда \( \operatorname{ctg} x \) не определён.
11. Если \( \operatorname{ctg} x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Тогда \( \operatorname{tg} x \) не определён.

5. \( \sin 2x - 22\cos^2x + 10 = 0 \)

1. Используем формулы: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) и \( \cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).
2. \( 2\sin x \cos x - 22\frac{1 + \cos 2x}{2} + 10 = 0 \).
3. \( 2\sin x \cos x - 11(1 + \cos 2x) + 10 = 0 \).
4. \( \sin 2x - 11 - 11\cos 2x + 10 = 0 \).
5. \( \sin 2x - 11\cos 2x - 1 = 0 \).
6. Разделим на \( \sqrt{1^2 + (-11)^2} = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122} \).
7. \( \frac{1}{\sqrt{122}}\sin 2x - \frac{11}{\sqrt{122}}\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{122}} \).
8. Пусть \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{122}} \) и \( \sin \alpha = \frac{11}{\sqrt{122}} \). Тогда \( \sin(2x - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{122}} \).
9. \( 2x - \alpha = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{122}}) + 2\pi k \) или \( 2x - \alpha = \pi - \arcsin(\frac{1}{\sqrt{122}}) + 2\pi k \).
10. \( 2x = \alpha + \arcsin(\frac{1}{\sqrt{122}}) + 2\pi k \) или \( 2x = \pi - \arcsin(\frac{1}{\sqrt{122}}) + \alpha + 2\pi k \).
11. \( x = \frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{\sqrt{122}}) + \pi k \) или \( x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{1}{\sqrt{122}}) + \frac{\alpha}{2} + \pi k \).

6. \( 2\sin^2x - 3\sin 2x - 4\cos 2x = 4 \)

1. Используем формулы: \( \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).
2. \( 2\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) - 3(2\sin x \cos x) - 4\cos 2x = 4 \).
3. \( 1 - \cos 2x - 6\sin x \cos x - 4\cos 2x = 4 \).
4. \( 1 - 5\cos 2x - 3\sin 2x = 4 \).
5. \( -5\cos 2x - 3\sin 2x = 3 \).
6. \( 5\cos 2x + 3\sin 2x = -3 \).
7. Разделим на \( \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \).
8. \( \frac{5}{\sqrt{34}}\cos 2x + \frac{3}{\sqrt{34}}\sin 2x = -\frac{3}{\sqrt{34}} \).
9. Пусть \( \cos \beta = \frac{5}{\sqrt{34}} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{\sqrt{34}} \).
10. \( \cos \beta \cos 2x + \sin \beta \sin 2x = -\frac{3}{\sqrt{34}} \).
11. \( \cos(2x - \beta) = -\frac{3}{\sqrt{34}} \).
12. \( 2x - \beta = \pm \arccos(-\frac{3}{\sqrt{34}}) + 2\pi k \).
13. \( 2x = \beta \pm \arccos(-\frac{3}{\sqrt{34}}) + 2\pi k \).
14. \( x = \frac{\beta}{2} \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{\sqrt{34}}) + \pi k \).