2. Решить задачи. №1. Докажите, что треугольники подобны. Найдите BK, если KC = 35 см, AK = 14 см, KD = 15 см. №2. Докажите, что треугольники ABC и DEC подобны. Найдите x. №3. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, AB = 6 см, BC = 8 см, A₁B₁ = 9 см, A₁C₁ = 18 см. Найдите неизвестные стороны данных треугольников.

№1.

Рассмотрим треугольники ABK и DCK.

1. Углы при вершине K равны как вертикальные: \(\angle AKB=\angle DKC\).
2. Углы B и D равны по условию рисунка: \(\angle ABK=\angle KDC\).
3. Следовательно, \(\triangle ABK\sim\triangle DCK\) по первому признаку подобия.
4. Соответствующие стороны пропорциональны: \(\dfrac{BK}{KD}=\dfrac{AK}{KC}\).
5. Подставим значения: \(\dfrac{BK}{15}=\dfrac{14}{35}=\dfrac{2}{5}\).
6. Тогда \(BK=15\cdot\dfrac{2}{5}=6\) см.

Ответ: \(BK=6\) см.

№2.

Рассмотрим треугольники ABC и DEC.

1. \(\angle A=\angle D\) по условию рисунка.
2. Углы при вершине C равны как вертикальные: \(\angle ACB=\angle DCE\).
3. Следовательно, \(\triangle ABC\sim\triangle DEC\) по первому признаку подобия.
4. Соответствие вершин: \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow C\). Поэтому \(AB\leftrightarrow DE\), а \(AC\leftrightarrow DC\).
5. Составим пропорцию: \(\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DC}\), то есть \(\dfrac{15}{21}=\dfrac{18}{x}\).
6. Перемножим пропорционально: \(15x=21\cdot18\).
7. \(x=\dfrac{378}{15}=25.2\) см.

Ответ: \(x=25{,}2\) см.

№3.

1. Так как \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle B=\angle B_1\), то \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) по первому признаку подобия.
2. Коэффициент подобия от треугольника ABC к треугольнику \(A_1B_1C_1\): \(k=\dfrac{A_1B_1}{AB}=\dfrac{9}{6}=1.5\).
3. Найдём сторону \(AC\): \(A_1C_1=k\cdot AC\), поэтому \(AC=\dfrac{18}{1.5}=12\) см.
4. Найдём сторону \(B_1C_1\): \(B_1C_1=k\cdot BC=1.5\cdot8=12\) см.

Ответ: \(AC=12\) см, \(B_1C_1=12\) см.