2. Решить задачи. 1. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AB в точке C₁, стороны BC в точке A₁, стороны CA в точке B₁. Найдите периметр треугольника, если AC₁ = 3, BA₁ = 5, CB₁ = 2. 2. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника. 3. Расстояние от точки P до центра окружности равно 7. Радиус окружности равен 11. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны:

Из точки A: AC₁ = AB₁ = 3; из точки B: BA₁ = BC₁ = 5; из точки C: CB₁ = CA₁ = 2.

Поэтому AB = 3 + 5 = 8, BC = 5 + 2 = 7, CA = 2 + 3 = 5.

Периметр: P = 8 + 7 + 5 = 20.

Ответ: 20.

Гипотенуза равна 5 + 12 = 17 см. Пусть длина касательных от вершины прямого угла равна x см. По равенству касательных катеты равны 5 + x и 12 + x.

По теореме Пифагора:

\((5+x)^2+(12+x)^2=17^2\).

После раскрытия скобок: \(2x^2+34x-120=0\), то есть \(x^2+17x-60=0\).

Корни уравнения: \(x=3\) и \(x=-20\). Длина не может быть отрицательной, значит, x = 3.

Тогда катеты: 5 + 3 = 8 см и 12 + 3 = 15 см.

Ответ: 8 см и 15 см.

Пусть хорда пересекает точку P и делится на отрезки длиной x и 18 − x. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

\(x(18-x)=R^2-OP^2\).

Подставим данные: \(x(18-x)=11^2-7^2=121-49=72\).

Получаем \(x^2-18x+72=0\), откуда \(x=6\) или \(x=12\).

Ответ: 6 и 12.