2. Решить задачи. а) Найти угол A в треугольнике ABC, если AB = 2√2, AC = 2, ∠C = 135°. б) AC = 12, ∠BAC = 75°, ∠BCA = 60°. Найти AB. в) CM — медиана, CM = 13√2/4, ∠A = 45°, ∠ACM = 30°. Найти AB.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) По теореме синусов сторона AB лежит напротив угла C, а AC — напротив угла B:

\(\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\), поэтому \(\sin B=\frac{2\sin135°}{2\sqrt2}=\frac12\). По рисунку угол B острый, значит \(B=30°\).

Тогда \(A=180°-135°-30°=15°\).

б) Сначала найдём третий угол: \(B=180°-75°-60°=45°\).

По теореме синусов \(\frac{AB}{\sin60°}=\frac{AC}{\sin45°}\), откуда \(AB=12\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=6\sqrt6\).

в) Так как M лежит на AB, \(\angle CAM=\angle A=45°\). В треугольнике ACM третий угол равен \(180°-45°-30°=105°\).

По теореме синусов \(\frac{AM}{\sin30°}=\frac{CM}{\sin45°}\), значит \(AM=\frac{13\sqrt2}{4}\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=\frac{13}{4}\).

Поскольку CM — медиана, M — середина AB, поэтому \(AB=2AM=\frac{13}{2}\).

Ответ: а) 15°; б) 6√6; в) 13/2.