2. Решить задачи: а) Составить уравнение прямой, проходящей через точки M(−2; 3) и N(4; −1). б) Найти точки пересечения прямой 3x + 4y − 12 = 0 с осями координат. в) Проверить, лежат ли точки A(0; 3), B(2; 0), C(−1; 4,5) на этой прямой.

Найдём угловой коэффициент прямой через M и N:

\(k=\dfrac{-1-3}{4-(-2)}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}\).

Подставим координаты M в уравнение \(y=kx+b\): \(3=-\dfrac{2}{3}(-2)+b\), поэтому \(b=\dfrac{5}{3}\).

Тогда уравнение прямой: \(y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\), или \(2x+3y-5=0\).

Ответ: \(2x+3y-5=0\).

На оси Ox координата \(y=0\): \(3x-12=0\), откуда \(x=4\). Точка пересечения — \((4;0)\).

На оси Oy координата \(x=0\): \(4y-12=0\), откуда \(y=3\). Точка пересечения — \((0;3)\).

Ответ: \((4;0)\) и \((0;3)\).

Подставим координаты каждой точки в левую часть уравнения \(3x+4y-12=0\). Если значение равно нулю, точка лежит на прямой.

Для A(0; 3): \(3\cdot0+4\cdot3-12=0\), значит, A лежит на прямой.

Для B(2; 0): \(3\cdot2+4\cdot0-12=-6\ne0\), значит, B не лежит на прямой.

Для C(−1; 4,5): \(3\cdot(-1)+4\cdot4.5-12=3\ne0\), значит, C не лежит на прямой.

Ответ: A лежит на прямой; B и C не лежат.