2. Решить задачу. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Обозначим центр вписанной окружности через O, а её радиус — через r. Пусть P — произвольная точка проведённой прямой, отличная от O. Так как прямая перпендикулярна плоскости треугольника в точке O, отрезок PO перпендикулярен этой плоскости.

Расстояние от точки до стороны треугольника — длина перпендикуляра к прямой, содержащей эту сторону. Для каждой стороны расстояние от O равно r, поскольку O — центр вписанной окружности.

Пусть H — основание перпендикуляра из O на одну из сторон, а K — основание перпендикуляра из P на ту же прямую. Поскольку PO перпендикулярен плоскости треугольника, а OH лежит в этой плоскости, PO перпендикулярен OH. Четырёхугольник POHK — прямоугольник: PO и HK перпендикулярны стороне, а OH и PK — перпендикуляры к одной и той же прямой. Поэтому PK = OH = r.

Такое рассуждение применимо к каждой стороне треугольника: расстояние от P до каждой из них равно r. Для точки O это верно непосредственно по определению вписанной окружности.

Ответ: каждая точка прямой равноудалена от всех трёх сторон треугольника.