№2 Решите: 1) 5x+13/5x+4+6x-4/3x-1=3 2) x^3+10x+11=0 3) 2x^3-11x^2+12x+9=0 подробное решение:

Решение:

1. 1) \( \frac{5x+13}{5x+4} + \frac{6x-4}{3x-1} = 3 \)
   Приведём дроби к общему знаменателю \( (5x+4)(3x-1) \):
   \[ \frac{(5x+13)(3x-1) + (6x-4)(5x+4)}{(5x+4)(3x-1)} = 3 \]
   Раскроем скобки в числителе:
   \[ (15x^2 - 5x + 39x - 13) + (30x^2 + 24x - 20x - 16) = 45x^2 + 18x - 29 \]
   Раскроем скобки в знаменателе:
   \[ (5x+4)(3x-1) = 15x^2 - 5x + 12x - 4 = 15x^2 + 7x - 4 \]
   Теперь уравнение выглядит так:
   \[ \frac{45x^2 + 18x - 29}{15x^2 + 7x - 4} = 3 \]
   Умножим обе части на знаменатель (при условии, что \( 15x^2 + 7x - 4 \neq 0 \)):
   \[ 45x^2 + 18x - 29 = 3(15x^2 + 7x - 4) \]
   \[ 45x^2 + 18x - 29 = 45x^2 + 21x - 12 \]
   Перенесём все члены в одну сторону:
   \[ 45x^2 - 45x^2 + 18x - 21x - 29 + 12 = 0 \]
   \[ -3x - 17 = 0 \]
   \[ -3x = 17 \]
   \[ x = -\frac{17}{3} \]
   Проверим знаменатель: \( 15(-\frac{17}{3})^2 + 7(-\frac{17}{3}) - 4 \neq 0 \).
   
2. 2) \( x^3 + 10x + 11 = 0 \)
   Это кубическое уравнение. Найдём рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 11 \).
   Подставим \( x = -1 \): \( (-1)^3 + 10(-1) + 11 = -1 - 10 + 11 = 0 \).
   Значит, \( x = -1 \) — корень.
   Теперь разделим многочлен \( x^3 + 10x + 11 \) на \( (x+1) \) столбиком или по схеме Горнера:
   \( \begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & 10 & 11 \\ -1 & & -1 & 1 & -11 \\ \hline & 1 & -1 & 11 & 0 \end{array} \)
   Получаем квадратное уравнение: \( x^2 - x + 11 = 0 \).
   Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 1 - 44 = -43 \).
   Так как \( D < 0 \), действительных корней у этого квадратного уравнения нет.
   
3. 3) \( 2x^3 - 11x^2 + 12x + 9 = 0 \)
   Ищем рациональные корни. Возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{9}{2} \).
   Проверим \( x = 3 \): \( 2(3)^3 - 11(3)^2 + 12(3) + 9 = 2(27) - 11(9) + 36 + 9 = 54 - 99 + 36 + 9 = 99 - 99 = 0 \).
   Значит, \( x = 3 \) — корень.
   Разделим многочлен \( 2x^3 - 11x^2 + 12x + 9 \) на \( (x-3) \):
   \( \begin{array}{c|cccc} & 2 & -11 & 12 & 9 \\ 3 & & 6 & -15 & -9 \\ \hline & 2 & -5 & -3 & 0 \end{array} \)
   Получаем квадратное уравнение: \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \>.
   Найдём дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \>.
   Найдём корни:
   \[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4} \]
   \[ x_1 = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
   Таким образом, корни уравнения: \( 3 \) (кратности 2) и \( -\frac{1}{2} \).