2. Решите неравенства: 1) $2x^2-9x-5<0$; 2) $\frac{7x^2+1}{2-3x}>0$; 3) $\frac1{x-1}+\frac1{x+3}\le\frac2{x+4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите неравенства: 1) $2x^2-9x-5<0$; 2) $\frac{7x^2+1}{2-3x}>0$; 3) $\frac1{x-1}+\frac1{x+3}\le\frac2{x+4}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Найдём корни квадратного трёхчлена:
$2x^2-9x-5=0$,
$D=(-9)^2-4\cdot2\cdot(-5)=121$,
$x_1=\frac{9-11}{4}=-\frac12$, $x_2=\frac{9+11}{4}=5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями.
Числитель $7x^2+1>0$ при любом $x$. Поэтому дробь положительна, когда знаменатель положителен:
$2-3x>0\Rightarrow x<\frac23$.
ОДЗ: $x\ne1$, $x\ne-3$, $x\ne-4$.
Перенесём всё в левую часть:
$\frac1{x-1}+\frac1{x+3}-\frac2{x+4}\le0$.
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{(x+3)(x+4)+(x-1)(x+4)-2(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+3)(x+4)}\le0$,
$\frac{2(3x+7)}{(x-1)(x+3)(x+4)}\le0$.
Критические точки: $-4$, $-\frac73$, $-3$, $1$. По знакам получаем:
$x\in\left(-4,-\frac73\right]\cup(-3,1)$.

Ответ: 1) $\left(-\frac12,5\right)$; 2) $\left(-\infty,\frac23\right)$; 3) $\left(-4,-\frac73\right]\cup(-3,1)$.

2. Решите неравенства: 1) \(2x^2-9x-5<0\); 2) \(\frac{7x^2+1}{2-3x}>0\); 3) \(\frac1{x-1}+\frac1{x+3}\le\frac2{x+4}\).