2. Решите неравенства: 1) 3(log₁⁄₂ x)² + 5log₁⁄₂ x − 2 > 0; 2) 2(log₂ x)² − 7log₂ x − 4 ≤ 0; 3) 2(log₅ x)² + 5log₅ x + 2 ≥ 0; 4) 3(log₄ x)² − 7log₄ x + 2 < 0.

Пусть \(t=\log_{1/2}x\), где \(x>0\). Тогда \(3t^2+5t-2>0\), то есть \((3t-1)(t+2)>0\). Поэтому \(t<-2\) или \(t>\frac13\). Основание \(\frac12<1\): \(t<-2\) даёт \(x>4\), а \(t>\frac13\) даёт \(0<x<\sqrt[3]{\frac12}\). Ответ: \((0;\sqrt[3]{\frac12})\cup(4;+\infty)\).

Пусть \(t=\log_2x\), где \(x>0\). Тогда \(2t^2-7t-4\le0\). Корни: \(t=-\frac12\) и \(t=4\), значит \(-\frac12\le t\le4\). Поскольку основание \(2>1\), получаем \(2^{-1/2}\le x\le2^4\). Ответ: \([\frac1{\sqrt2};16]\).

Пусть \(t=\log_5x\), где \(x>0\). Тогда \(2t^2+5t+2\ge0\), или \((2t+1)(t+2)\ge0\). Следовательно, \(t\le-2\) или \(t\ge-\frac12\). Так как основание \(5>1\), ответ: \((0;\frac1{25}]\cup[\frac1{\sqrt5};+\infty)\).

Пусть \(t=\log_4x\), где \(x>0\). Тогда \(3t^2-7t+2<0\), то есть \((3t-1)(t-2)<0\). Поэтому \(\frac13<t<2\). Основание \(4>1\), значит \(\sqrt[3]{4}<x<16\). Ответ: \((\sqrt[3]{4};16)\).