2. Решите неравенства: а) $(\sqrt5)^{x-6}\le\frac15$; б) $\left(\frac2{13}\right)^{x^2-1}\ge1$; в) $\sqrt{x^2-5x+4}\le2x+2$; г) $\log_2(x-3)+\log_2(x-2)\le1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите неравенства: а) $(\sqrt5)^{x-6}\le\frac15$; б) $\left(\frac2{13}\right)^{x^2-1}\ge1$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим $\frac15=(\sqrt5)^{-4}$. Поскольку основание $\sqrt5>1$, сравниваем показатели: $x-6\le-4$. Следовательно, $x\le2$.
Основание $\frac2{13}$ лежит между 0 и 1, поэтому степень не меньше 1 тогда и только тогда, когда показатель не больше 0: $x^2-1\le0$. Значит, $-1\le x\le1$.
Сначала учитываем область определения: $x^2-5x+4\ge0$, то есть $x\le1$ или $x\ge4$. Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому также $2x+2\ge0$, то есть $x\ge-1$. При этих условиях возводим обе части в квадрат: $x^2-5x+4\le(2x+2)^2$, откуда $3x^2+13x\ge0$, или $x(3x+13)\ge0$. Это даёт $x\le-\frac{13}{3}$ или $x\ge0$. Пересечение с условиями области определения и $x\ge-1$: $[0;1]\cup[4; +\infty)$.
Область определения: $x>3$. Объединяем логарифмы; поскольку основание 2 больше 1, получаем $(x-3)(x-2)\le2$. Тогда $x^2-5x+4\le0$, откуда $x\in[1;4]$. С учётом области определения остаётся $3<x\le4$.

Ответ: а) $x\le2$; б) $[-1;1]$; в) $[0;1]\cup[4; +\infty)$; г) $(3;4]$.

2. Решите неравенства: а) \((\sqrt5)^{x-6}\le\frac15\); б) \(\left(\frac2{13}\right)^{x^2-1}\ge1\); в) \(\sqrt{x^2-5x+4}\le2x+2\); г) \(\log_2(x-3)+\log_2(x-2)\le1\).