2. Решите неравенство: 1) (x − 2)/(x + 3) > 0; 2) ((x + 1)(x − 4))/(x − 1) < 0; 3) (3 − x)/(2x + 1) < 0; 4) x/((x − 5)(x + 2)) ≥ 0; 5) 7/(x − 3) ≤ 0.

Используем метод интервалов: отмечаем нули числителя и знаменателя, разбиваем числовую прямую на интервалы и определяем знак выражения.

1. \(\dfrac{x-2}{x+3}>0\).

   Критические точки: \(x=2\) и \(x=-3\); точка \(x=-3\) исключается из ОДЗ.

   Выражение положительно на интервалах \((-\infty,-3)\) и \((2,+\infty)\).

   Ответ: \((-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\).

2. \(\dfrac{(x+1)(x-4)}{x-1}<0\).

   Критические точки: \(x=-1\), \(x=1\), \(x=4\); точка \(x=1\) исключается из ОДЗ.

   Знак «минус» получается на интервалах \((-\infty,-1)\) и \((1,4)\).

   Ответ: \((-\infty,-1)\cup(1,4)\).

3. \(\dfrac{3-x}{2x+1}<0\).

   Критические точки: \(x=3\) и \(x=-\dfrac12\); точка \(x=-\dfrac12\) исключается из ОДЗ.

   Выражение отрицательно на интервалах \((-\infty,-\dfrac12)\) и \((3,+\infty)\).

   Ответ: \((-\infty,-\dfrac12)\cup(3,+\infty)\).

4. \(\dfrac{x}{(x-5)(x+2)}\geq0\).

   Критические точки: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=5\); точки \(x=-2\) и \(x=5\) исключаются из ОДЗ.

   Выражение неотрицательно на интервалах \((-2,0)\) и \((5,+\infty)\). Точка \(x=0\) включается, поскольку числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

   Ответ: \((-2,0]\cup(5,+\infty)\).

5. \(\dfrac{7}{x-3}\leq0\).

   Числитель \(7\) всегда положителен и не может быть равен нулю. Дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен:

   \(x-3<0\), откуда \(x<3\). Точка \(x=3\) исключается из ОДЗ.

   Ответ: \((-\infty,3)\).