2. Решите неравенство: 2^{2x-1} - 7 \(\cdot\) 2^{x-1} + 5 \(\leq\) 0.

Решение:

1. Приведём неравенство к виду, удобному для замены переменной. Заметим, что \( 2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^x)^2 \) и \( 2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x \).
2. Подставим эти выражения в неравенство: \( \frac{1}{2} \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x + 5 \leq 0 \).
3. Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дробей: \( (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x + 10 \leq 0 \).
4. Введём замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Поскольку \( 2^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).
5. Неравенство примет вид: \( y^2 - 7y + 10 \leq 0 \).
6. Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( y^2 - 7y + 10 = 0 \). По теореме Виета, \( y_1 + y_2 = 7 \) и \( y_1 \cdot y_2 = 10 \). Корни: \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = 5 \).
7. Парабола \( y^2 - 7y + 10 \) направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 - 7y + 10 \leq 0 \) выполняется при \( 2 \leq y \leq 5 \).
8. Учитывая, что \( y = 2^x \) и \( y > 0 \), получаем \( 2 \leq 2^x \leq 5 \).
9. Рассмотрим левую часть неравенства: \( 2 \leq 2^x \). Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), то \( x \geq 1 \).
10. Рассмотрим правую часть неравенства: \( 2^x \leq 5 \). Прологарифмируем обе части по основанию 2: \( \log_2(2^x) \leq \log_2(5) \), что даёт \( x \leq \log_2(5) \).
11. Объединяя оба условия, получаем \( 1 \leq x \leq \log_2(5) \).

Ответ: \( [1; \log_2 5] \).