2. Решите неравенство \(\log_{0,5}(x^2-7x+12)>\log_{0,5}(17-3x)\) и укажите количество его целочисленных решений.

Оба аргумента логарифмов должны быть положительными:

\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)>0\), значит, \(x<3\) или \(x>4\).

\(17-3x>0\), значит, \(x<\frac{17}{3}\). Совместно получаем область определения: \(x<3\) или \(4<x<\frac{17}{3}\).

Основание \(0,5\) находится между 0 и 1, поэтому логарифмическая функция убывает. Следовательно, неравенство равносильно противоположному неравенству аргументов:

\(x^2-7x+12<17-3x\).

Переносим всё влево и раскладываем на множители:

\(x^2-4x-5<0\), то есть \((x+1)(x-5)<0\), откуда \(-1<x<5\).

Пересечение с областью определения: \((-1,3)\cup(4,5)\). Целые решения: \(0,1,2\).

Ответ: 3 целочисленных решения.