2. Решите систему уравнений: а) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6},\\ x-y=1;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x-xy-y=-7,\\ x+xy-y=1.\end{cases}\)

а) Учитываем ограничения \(x\ne0\), \(y\ne0\). Из второго уравнения \(y=x-1\). Подставим в первое:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{6}\),
\(\dfrac{2x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{6}\),
\(12x-6=x^2-x\),
\(x^2-13x+6=0\).

По формуле корней квадратного уравнения \(x=\dfrac{13\pm\sqrt{145}}{2}\). Так как \(y=x-1\), получаем \(y=\dfrac{11\pm\sqrt{145}}{2}\), с тем же знаком перед корнем. Оба решения допустимы.

б) Сложим уравнения системы: \(2x-2y=-6\), откуда \(x-y=-3\). Вычтем первое уравнение из второго: \(2xy=8\), значит, \(xy=4\).

Из равенства \(x-y=-3\) следует \(x=y-3\). Подставим в произведение:

\(y(y-3)=4\),
\(y^2-3y-4=0\),
\((y-4)(y+1)=0\).

Если \(y=4\), то \(x=1\). Если \(y=-1\), то \(x=-4\). Обе пары удовлетворяют системе.

Ответ: а) \((x;y)=\left(\dfrac{13+\sqrt{145}}{2};\dfrac{11+\sqrt{145}}{2}\right)\) или \(\left(\dfrac{13-\sqrt{145}}{2};\dfrac{11-\sqrt{145}}{2}\right)\); б) \((1;4), (-4;-1)\).