2. Решите уравнение 2x − 5y = 11 в целых числах. Варианты: x = 5k + 8, y = 2k + 1; x = 5k + 7, y = 2k + 1; x = 5k + 6, y = 2k; x = 5k + 9, y = 2k.

Проверим варианты подстановкой в уравнение. Для первой пары:

\(2(5k+8)-5(2k+1)=10k+16-10k-5=11\), поэтому она подходит.

Для второй пары левая часть равна \(10k+14-10k-5=9\); для третьей — \(10k+12-10k=12\); для четвёртой — \(10k+18-10k=18\). Эти варианты не подходят.

Кроме того, первая пара задаёт все целые решения: из сравнения \(2x-5y=11\) по модулю 5 получаем \(2x\equiv1\pmod5\), значит \(x\equiv3\pmod5\). Пусть \(x=5k+3\); тогда \(y=2k-1\), что равносильно указанной первой паре заменой параметра.

Ответ: первый вариант, \(x=5k+8,\ y=2k+1\), где \(k\in\mathbb Z\).