2. Решите уравнение: а) x³ − 3x² − 4x = 0; б) x⁴ + 11x³ − x² = 0; а) (2x − 1)⁴ − x² = 0; б) x⁴ − 4x³ + 4x² = (7x + 1)².

а) Вынесем общий множитель и разложим квадратный трёхчлен:

\(x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x-4)(x+1)=0\).

Приравниваем множители к нулю: \(x=0\), \(x=4\) или \(x=-1\).

б) Вынесем \(x^2\):

\(x^4+11x^3-x^2=x^2(x^2+11x-1)=0\).

Отсюда \(x=0\) или, по формуле корней квадратного уравнения, \(x=\frac{-11\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{-11\pm5\sqrt5}{2}\).

а) Применим разность квадратов:

\((2x-1)^4-x^2=\big((2x-1)^2-x\big)\big((2x-1)^2+x\big)=0\).

Первый множитель раскладывается так: \((2x-1)^2-x=4x^2-5x+1=(4x-1)(x-1)\), поэтому он обращается в ноль при \(x=\frac14\) или \(x=1\).

Второй множитель равен \((2x-1)^2+x=4x^2-3x+1\). Его дискриминант \(D=9-16=-7<0\), поэтому действительных корней он не даёт.

б) Левая часть — квадрат: \(x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2=[x(x-2)]^2\). Тогда

\([x(x-2)]^2=(7x+1)^2\), значит, \(x(x-2)=7x+1\) или \(x(x-2)=-(7x+1)\).

В первом случае \(x^2-9x-1=0\), откуда \(x=\frac{9\pm\sqrt{85}}{2}\).

Во втором случае \(x^2+5x+1=0\), откуда \(x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\).

Ответ: первое а) \(x\in\{-1,0,4\}\); первое б) \(x\in\left\{0,\frac{-11-5\sqrt5}{2},\frac{-11+5\sqrt5}{2}\right\}\); второе а) \(x\in\left\{\frac14,1\right\}\); второе б) \(x\in\left\{\frac{9-\sqrt{85}}2,\frac{9+\sqrt{85}}2,\frac{-5-\sqrt{21}}2,\frac{-5+\sqrt{21}}2\right\}\).