2. Решите уравнение: a) x³ - 9x² + 9x - 1 = 0; б) √x-6 = x-12.

Решение:

а) x³ - 9x² + 9x - 1 = 0

Это кубическое уравнение. Для решения таких уравнений часто ищут целочисленные корни среди делителей свободного члена (в данном случае -1). Возможные корни: 1 и -1.

Проверим \( x=1 \): \( 1^3 - 9(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 9 + 9 - 1 = 0 \). Значит, \( x=1 \) — корень уравнения.

Так как \( x=1 \) — корень, то многочлен \( x³ - 9x² + 9x - 1 \) делится на \( (x - 1) \). Выполним деление столбиком или по схеме Горнера:

\( (x³ - 9x² + 9x - 1) : (x - 1) = x² - 8x + 1 \)

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( x² - 8x + 1 = 0 \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 64 - 4 = 60 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15} \]

Таким образом, корни исходного уравнения: \( x = 1 \), \( x = 4 + \sqrt{15} \), \( x = 4 - \sqrt{15} \).

б) \(\sqrt{x-6} = x-12\)

Для решения этого иррационального уравнения возведем обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{x-6})^2 = (x-12)^2 \]

\[ x-6 = x^2 - 24x + 144 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 24x - x + 144 + 6 = 0 \]

\[ x^2 - 25x + 150 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Теперь необходимо выполнить проверку, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Условие, которое должно выполняться: \( x-12 \ge 0 \), то есть \( x \ge 12 \).

Проверим \( x_1 = 15 \):

Левая часть: \(\sqrt{15-6} = \sqrt{9} = 3\)

Правая часть: \( 15-12 = 3 \)

Левая часть равна правой, значит, \( x = 15 \) — корень.

Проверим \( x_2 = 10 \):

Левая часть: \(\sqrt{10-6} = \sqrt{4} = 2\)

Правая часть: \( 10-12 = -2 \)

Левая часть не равна правой, и \( x=10 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 12 \). Значит, \( x = 10 \) — посторонний корень.

Ответ: а) \( x=1, x=4+\sqrt{15}, x=4-\sqrt{15} \); б) \( x=15 \).