2. Решите уравнение f'(x)=0, если: f(x) = x³/3 - 1,5x² - 4x

Решение:

Для начала найдём производную функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} - 1.5x^2 - 4x \).

Производная \( f'(x) \) находится по правилам дифференцирования:

• Производная от \( \frac{x^3}{3} \) равна \( \frac{3x^2}{3} = x^2 \).
• Производная от \( -1.5x^2 \) равна \( -1.5 \cdot 2x = -3x \).
• Производная от \( -4x \) равна \( -4 \).

Таким образом, производная функции равна:

\[ f'(x) = x^2 - 3x - 4 \]

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти корни уравнения:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

Коэффициенты:

• \( a = 1 \)
• \( b = -3 \)
• \( c = -4 \)

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два корня.

Найдем корни по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Первый корень:

\[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Второй корень:

\[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -1.