2. Решите уравнение методом введения новой переменной: a) \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\) б) \((x^2 - 2x)^2 + (x^2 - 2x) = 12\)

Решение:

а) $4x^4-17x^2+4=0$

1. Вводим новую переменную: Пусть \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид: \(4y^2 - 17y + 4 = 0\)
2. Решаем квадратное уравнение относительно \(y\):
• Дискриминант: \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225\).
• \(y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4\)
• \(y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
3. Возвращаемся к исходной переменной \(x\):
• \(x^2 = y_1 \implies x^2 = 4 \implies x = ± 2\)
• \(x^2 = y_2 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = ± \frac{1}{2}\)

б) $(x^2-2x{)}^2+(x^2-2x)=12$

1. Вводим новую переменную: Пусть \(y = x^2 - 2x\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 + y = 12\)
2. Решаем квадратное уравнение относительно \(y\): \(y^2 + y - 12 = 0\)
• Дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\).
• \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
• \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
3. Возвращаемся к исходной переменной \(x\):
• \(x^2 - 2x = y_1 \implies x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).
• \(x^2 - 2x = y_2 \implies x^2 - 2x = -4 \implies x^2 - 2x + 4 = 0\). Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\). Корней нет.

Ответ: а) ±2; ±1/2. б) 3; -1.