2. Решите уравнение методом введения новой переменной: a) $$9x^4 - 13x^2 + 4 = 0$$; б) $$(x^2 - 8)^2 + 3(x^2 - 8) = 4$$

Решение:

2.а)

• Введем новую переменную $$y = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:
• \[ 9y^2 - 13y + 4 = 0 \]
• Найдем дискриминант:
• \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 169 - 144 = 25 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 9} = \frac{13 \pm 5}{18} \]
• \[ y_1 = \frac{13+5}{18} = \frac{18}{18} = 1 \]
• \[ y_2 = \frac{13-5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]
• Теперь вернемся к замене $$y = x^2$$:
• $$x^2 = 1 Arr x = \pm 1$$
• $$x^2 = \frac{4}{9} Arr x = \pm \frac{2}{3}$$

2.б)

• Введем новую переменную $$y = x^2 - 8$$. Тогда уравнение примет вид:
• \[ y^2 + 3y = 4 \]
• \[ y^2 + 3y - 4 = 0 \]
• Найдем дискриминант:
• \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
• \[ y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]
• \[ y_1 = \frac{-3+5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
• \[ y_2 = \frac{-3-5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
• Теперь вернемся к замене $$y = x^2 - 8$$:
• $$x^2 - 8 = 1 Arr x^2 = 9 Arr x = \pm 3$$
• $$x^2 - 8 = -4 Arr x^2 = 4 Arr x = \pm 2$$

Финальный ответ:

Ответ: а) 1; -1; 2/3; -2/3; б) 3; -3; 2; -2