2. Решите уравнение (x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0.

Решение:

1. Это биквадратное уравнение относительно \( (x+2)^2 \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = (x+2)^2 \).
2. Тогда исходное уравнение примет вид: \( y^2 - 4y - 5 = 0 \).
3. Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
4. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня для \( y \).
5. Найдём корни по формуле: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
6. Теперь вернёмся к замене \( y = (x+2)^2 \).
7. Рассмотрим первый случай: \( (x+2)^2 = 5 \).
8. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \( x+2 = \pm\sqrt{5} \).
9. Найдём \( x \): \( x = -2 \pm\sqrt{5} \).
10. Таким образом, \( x_1 = -2 + \sqrt{5} \) и \( x_2 = -2 - \sqrt{5} \).
11. Рассмотрим второй случай: \( (x+2)^2 = -1 \).
12. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: x₁ = -2 + \(\sqrt{5}\), x₂ = -2 - \(\sqrt{5}\).