Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. Решите уравнения: 1) cos(6 + 3x) = −√2/2; 2) 2 sin(3x − π/4) = −1; 3) tg(2x + π/4) = −1; 4) 5 sin(2x − 1) − 2 = 0.Фото задания

Ответ:

  1. Пусть \(t=6+3x\). Тогда \(\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}\), откуда \(t=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) или \(t=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Поэтому

    \[x=\frac\pi4-2+\frac{2\pi k}{3}\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{12}-2+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.\]

  2. Делим обе части на 2: \(\sin(3x-\frac\pi4)=-\frac12\). Значения аргумента: \(-\frac\pi6+2\pi k\) или \(\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). Следовательно,

    \[x=\frac\pi{36}+\frac{2\pi k}{3}\quad\text{или}\quad x=\frac{17\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.\]

  3. Пусть \(t=2x+\frac\pi4\). Из \(\tan t=-1\) получаем \(t=-\frac\pi4+\pi k\), поэтому

    \[x=-\frac\pi4+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.\]

  4. Переносим 2 и делим на 5: \(\sin(2x-1)=\frac25\). Обозначим \(\alpha=\arcsin\frac25\). Тогда аргумент равен \(\alpha+2\pi k\) или \(\pi-\alpha+2\pi k\). Значит,

    \[x=\frac{1+\arcsin(2/5)}2+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{1+\pi-\arcsin(2/5)}2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]