2) Решите уравнения: 1) $\frac{24x^3-1}{3x}=0$; 2) $\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}$; 3) $\frac{x}{x+2}+\frac{x+1}{x+5}-\frac{7x}{x^2+7x+10}=0$; 4) $\frac{x^2-6}{x-3}=\frac{x}{x-3}$; 5) $\frac{3}{x^2+x}=\frac{1}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Решите уравнения: 1) $\frac{24x^3-1}{3x}=0$; 2) $\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Область допустимых значений: $x\ne0$. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

\[24x^3-1=0\quad\Rightarrow\quad x^3=\frac{1}{24}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{\sqrt[3]{24}}.\]

2) ОДЗ: $x\ne2$, $x\ne-2$. Умножим уравнение на $(x-2)(x+2)$:

\[x(x+2)-4(x-2)=8,\]

\[x^2+2x-4x+8=8\quad\Rightarrow\quad x^2-2x=0\quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0.\]

Корни-кандидаты: $0$ и $2$; значение $2$ исключено ОДЗ. Остаётся $x=0$.

3) ОДЗ: $x\ne-2$, $x\ne-5$, поскольку $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$. Умножим на $(x+2)(x+5)$:

\[x(x+5)+(x+1)(x+2)-7x=0,\]

\[x^2+5x+x^2+3x+2-7x=0\quad\Rightarrow\quad 2x^2+x+2=0.\]

Дискриминант $D=1-16=-15<0$, поэтому действительных корней нет.

4) ОДЗ: $x\ne3$. Умножим обе части на $x-3$:

\[x^2-6=x\quad\Rightarrow\quad x^2-x-6=0\quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+2)=0.\]

Кандидаты: $3$ и $-2$; $3$ не входит в ОДЗ. Следовательно, $x=-2$.

5) ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne-1$. Умножим уравнение на $x^2+x=x(x+1)$:

\[3=x+1\quad\Rightarrow\quad x=2.\]

Значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1) $x=\frac{1}{\sqrt[3]{24}}$; 2) $x=0$; 3) действительных корней нет; 4) $x=-2$; 5) $x=2$.

2) Решите уравнения: 1) \(\frac{24x^3-1}{3x}=0\); 2) \(\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\); 3) \(\frac{x}{x+2}+\frac{x+1}{x+5}-\frac{7x}{x^2+7x+10}=0\); 4) \(\frac{x^2-6}{x-3}=\frac{x}{x-3}\); 5) \(\frac{3}{x^2+x}=\frac{1}{x}\).